Когда реле включено, то даже без нагрузки через её катушку протекает достаточно большой ток, вместе с тем катушка находится в замкнутом пространстве как в теплице, что вызывает со временем немалый нагрев.

Кнопку к Arduino можно подключить двумя способами. Первый способ описан в комментарии к скетчу Button в меню Examples->Digital.

При управлении электромагнитными устройствами, имеющими значительную индуктивность (например, соленоиды электромагнитных клапанов, катушки  электромагнитных пускателей, реле и контакторов), рекомендуется применять помехоподавляющие  RC-цепочки в соответствии с представленной схемой.

Для того, что управлять яркостью светодиода при помощи ШИМ, следует подключить светодиод к одному из выводов с широтно-импульсной модуляцией. В меню Examples->Analog есть скетч Fading с примером плавного увеличения и уменьшения яркости светодиода c периодичностью около 3 секунд.

Матричную клавиатуру подключить к Arduino с одной стороны и не сложно, с другой стороны отводить под это целых 8 выводов из 17-ти свободных - это как-то слишком много.

Светодиод можно подключить либо к цифровому (логическому) выводу, и в этом случае его состоянием можно управлять по принципу включен-выключен, либо к одному из выводов ШИМ (PWM), и при таком подключении можно управлять яркостью его свечения.

В меню Examples->Digital есть скетч toneMelody, который при сбросе микроконтроллера проигрывает мелодию, ноты в которой задаются двумя параметрами - тоном и громкостью. В качестве динамика используется 8-омная динамическая головка, например динамик так называемого PC Speaker, подключаемая к выводу Digital 8.